实变函数中l1空间和l2空间的区别？
2019-10-06
必要性：设L为闭子空间，，xn→x(n→∞)，则x∈L，且对一切y∈L2，有
所以x∈L2⊥因为L=L1L2且x∈L，x∈L2⊥，故x∈L1。所以L1为闭子空间。
同理可证L2也为闭子空间。
充分性：设L1，L2均为闭子空间，
{x(n)}∈L，x(n)→∞(n→∞)，
令
x(n)=x1(n)+x2(n)，
其中x1(n)∈L1，x2(n)∈L2对x作正交分解：
x=x1+x2(x1∈L1，x2∈L1⊥)
因为
‖xi(n)-xi‖≤‖x(n)-x‖→0(i=1，2)，
由L1，L2闭，知x1∈L1，x2∈L2，故x∈L1L2，即L是闭子空间。
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