利用和的立方公式，我们有 （n＋1）3＝n3＋3n2＋3n＋1， 移项可得 （n＋1）3 －n3＝3n2＋3n＋1， 此式对于任何自然数n都成立。

依次把n＝1,2，3，…，n－1，n代入上式可得 23 －13＝3•12＋3•1＋1， 33 －23＝3•22＋3•2＋1， 43 －33＝3•32＋3•3＋1， n3－（n－1）3＝3（n－1）2＋3（n－1）＋1， （n＋1）3 －n3＝3n2＋3n＋1，

把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n＋1）3 －1；而n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，

第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，

第三列是n个1。因而我们得到 （n＋1）3 －1＝3sn＋ ＋n， 现在这里sn＝12＋22＋…＋n2。

对这个结果进行恒等变形可得 n3＋3n2＋3n＝3sn＋ ＋n， 2n3＋6n2＋6n＝6sn＋3n2＋3n＋2n 移项、合并同类项可得 6sn＝2n3＋3n2＋n＝n（n＋1）（2n＋1）， ∴sn＝ n（n＋1）（2n＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n2＝ n（n＋1）（2n＋1）。