证明30阶群必非单群（要详细的证明） 还有类似的，p,q素数，q*p^2阶群也不是单群，谢谢啦？
2019-05-18
30阶群:由Sylow定理, 该群有1个或6个Sylow 5-子群. 若只有1个, 则为正规子群, 该群不为单群.若有6个, 这6个子群共含有6·(5-1) = 24个5阶元.再考虑Sylow 3-子群, 个数可能为1, 3, 10.若有不少于3个, 则至少有3·(3-1) = 6个3阶元.单位元+5阶元+3阶元个数 > 30, 矛盾.故只能有1个3阶子群, 为正规子群, 该群不为单群.p²q阶群:若p = q, p-群有非平凡的中心, 故不为单群.若p > q, 则Sylow p-子群只能有1个 (p不整除q-1), 为正规子群, 该群不为单群.若q > p, 除去q = 3, p = 2以外, 有q > p+1. 则q不整除p-1, 也不整除p²-1 = (p+1)(p-1).于是Sylow q-子群只能有1个, 为正规子群, 该群不为单群.最后讨论p = 2, q = 3的情况.考虑Sylow 3-子群, 有1个或4个.
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