仍然服从泊松分布。证明如下：

可以证明，并且这些柏松分布各自的参数还不一样。

设X1服从参数为λ1的柏松分布，

设X2服从参数为λ2的柏松分布。

则对于任意非负整数k，有

P(X1 = k) = e^(-λ1) * λ1^k / k!

P(X2 = k) = e^(-λ2) * λ2^k / k!

于是(sum表示求和)

P(X1 + X2 = m) = sum (P(X1 = k)P(X2 = m - k), k=0,1,...,m) (独立性，全概率公式)

= sum ([e^(-λ1) * λ1^k / k!][e^(-λ2) * λ2^(m-k) / (m-k)!], k=0,1,...,m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * sum(m! / [k!(m-k)!] * (λ1/λ2)^k, k=0,1,...,m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * (1 + λ1/λ2)^m (二项式定理)

= e^(-λ1-λ2) (λ1+λ2)^m / m!

即得X1 + X2符合Po(λ1+λ2)。用数学归纳法可证n个独立柏松变量的和服从Po(λ1+λ2+...+λn)。