概念

幂零变换(nilpotent transformation)是一类特殊的线性变换。设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换。

若存在自然数m，使σ =0，但σ ≠0，则σ称为幂零变换，m称为幂零指数。一个线性变换是幂零变换，当且仅当它的特征多项式的根都是零；

如果一个幂零变换可以对角化，则它一定是零变换。

线性变换

线性代数的重要概念之一。设σ是数域P上的线性空间V的一个变换。若对于V中的任意向量α，β与P中的任意数k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，则称σ是V的一个线性变换。

设σ是线性空间V的一个变换，若对于V中任意向量α，有σ(α)=α，则σ是V的线性变换，称为恒等变换，亦称单位变换，记为I。

若V的变换σ对于V中的任意向量α，有σ(α)=0，则σ是V的线性变换，称为零变换，记为0。线性变换是欧氏几何中的变换、解析几何中的某些坐标变换、数学分析中的某些变量代换以及其他数学分支中某些类似的变换的抽象、概括与推广。

数域上线性空间的线性变换可以推广为同一个域上的两个不同线性空间的线性映射。线性变换不仅是线性代数的主要研究对象之一，也是数学中的一个重要的概念。

近代数学中的许多分支的研究对象，如泛函分析中的线性算子。同调代数中的模同态等都与线性变换有密切的联系。