如果你把A*x=lambda*x中的A看做一种变换，一种作用，那么那些在这种作用下，只改变长短不改变方向的那些向量x就是特征向量，而特征值就是lambda，是伸缩系数，起能量增幅或者削减作用。

特征值特征向量在各学术领域均有很高级的作用，首先介绍PCA，主成分分析。如果你面前有大维数组，处理起来非常棘手，直接带入问题处理速度又慢，第一想法就是能不能从中取出最有用，最有代表性的内容，俗话说：捞干的。

回想tr迹这个性质，trA=A所有特征向量的和，主对角线元的意义非凡，暂且认为主对角线和就是这个矩阵所蕴含的能量。

而特征向量就是这些能量集中爆发的方向，如果你很清楚特征分解的几何意义，就知道特征向量就是数据在空间中的对称轴，特征分解就是把其他方面的能量都投影在对称轴上，所以特征分解完或者说投影完，中间就只剩一个对角阵了，非对角元全是0. 此时你把最大的那几个特征向量摘出来，其余的抛掉，如此能很大程度降低你数据的维度，但信息损失仍在可控的范围。

假设你求出100个特征值，头五个最大的和能达到这100个和的95%，那么其余95个丢掉，相对应的特征向量也丢掉。

此时你的100*100的方阵只剩下5*5了，但信息量保存了95%。金融业，银行业，保险业大量使用。互联网，Google的PageRank，就是 对www链接关系的修正邻接矩阵的，主要特征向量的投影分量，给出了页面平分。

也就是搜索排名，凭什么我靠前你靠后。人像识别，我们把图像A看成矩阵，进一步看成线性变换矩阵，把这个训练图像的特征矩阵求出来(假设取了n个能量最大的特征向量)。

用A乘以这个n个特征向量，得到一个n维矢量a，也就是A在特征空间的投影。还有聚类分析，信号处理等等。所以这块你一定要学透。