对于任意ε>0,存在正整数X，使得对任意x>X，|f(x)+∞|<ε恒成立。则称limf(x)=-∞（x→∞）

证明：

对任给的 ε>0 (ε<1)，为使

|2^x| <= 2^x < ε，

只需 x < lnε/ln2，于是，取 X = -lnε/ln2 > 0，则当 x < -X 时，有

|2^x| <= 2^x < 2^X = ε，

根据极限的定义，成立

lim(x→-∞) 2^x = 0。

扩展资料：

极限的求法

1、恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

（1）因式分解，通过约分使分母不会为零。

（2）若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

（3）以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。

（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

2、通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。

3、采用洛必达法则求极限

洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。