形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

特性：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：a小于0时，x不等于0；

q为偶数时，x不小于0；q为奇数时，x取R。

定义域与值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1.如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；

2.如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1.在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

2.在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。

第一象限的特殊性：（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a>0时 图象过点（0，0）和（1，1）（2）当a大于0时，幂函数为单调递增为增函数，而a小于0时，幂函数为单调递减为减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凸（竖抛）；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸（横抛）。当a小于0时，图像为双曲线。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。（5）显然幂函数无界限。（6）a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。

图象：①当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数②当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数，第一象限为减函数③当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1) ④当0<a<1时，函数是增函数⑤当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数⑥当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数