f'(x) 在 [a,b] 有界是 f(x) 在 [a,b] 有界的充分非必要条件。

利用 Lagrange 中值定理，有

f(x)-f(a) = f'[a+θ(x-a)](x-a)，0<θ<x，

由 f'(x) 在 [a,b] 的有界性可得 f(x) 在 [a,b] 的有界性。反之，由 f(x) 在 [a,b] 的有界，并不能导致 f'(x) 在 [a,b] 的存在性，更不用说 f'(x) 在 [a,b] 的有界性。

例如，函数f(x) = sin(1/x)，x≠0，

= 0，x=0，

在 包含 0 的任何闭区间 [a,b] 是有界的，但 f(x) 在 x=0 不可导。

函数有界性的判断：

1、理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2、计算法：切分(a,b)内连续

limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。

3、运算规则判定：在边界极限不存在时

有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）有界 x 有界 = 有界。