引理 1　提升映射与向量场的交换性

　　 设 F:M→NF:M→N 是一个微分同胚，那么对于任意光滑函数 f∈C∞(M)f∈C∞(M) 和光滑向量场 X∈X(M)X∈X(M)，都有：

(Xf)∘F−1=F∗(X)(f∘F−1)(1)(1)(Xf)∘F−1=F∗(X)(f∘F−1)

其中 F∗:TM→TNF∗:TM→TN 是 FF 的微分．

　　 引理 1 根据 “向量场对光滑函数作用” 的定义就可以证出．

引理 2　微分和李括号的交换性

　　 设 F:M→NF:M→N 是一个微分同胚，那么对于任意光滑向量场 X,Y∈X(M)X,Y∈X(M)，有 F∗([X,Y])=[F∗(X),F∗(Y)]F∗([X,Y])=[F∗(X),F∗(Y)]．

　　 证明：

　　 我们只需要证明 F∗(XY)(f∘F−1)=F∗(X)F∗(Y)(f∘F−1)F∗(XY)(f∘F−1)=F∗(X)F∗(Y)(f∘F−1) 对于任意 f∈C∞(M)f∈C∞(M) 成立即可．

　　 由引理 1 ，

F∗(XY)(f∘F−1)=(XYf)∘F−1=F∗(X)(Yf∘F−1)=F∗(X)(F∗(Y)(f∘F−1))=F∗(X)F∗(Y)(f∘F−1)(2)(2)F∗(XY)(f∘F−1)=(XYf)∘F−1=F∗(X)(Yf∘F−1)=F∗(X)(F∗(Y)(f∘F−1))=F∗(X)F∗(Y)(f∘F−1)

　　 证毕．