排列组合之相同元素分配问题 华图教育 姜洋 排列组合问题是公务员考试中常见的一类计数问题， 也是广大考生最为头疼的问题， 排列组合的题型很多， 其中有一类题目是涉及到相同元素分配的题目， 本篇文章就针对排列组合中这样一类问题进行详细阐述。

【例】 把 9 个苹果分给 5 个人， 每人至少分一个苹果， 那么不同的分法一共有多少种？A.30 B.40 C.60 D.70 【解析】 遇到这样的相同元素进行分配的问题， 我们一般都是采用挡板法进行计算。

也就是 9 个苹果排成一排， 形成 8 个空， 中间插 4 个挡板， 就可以把 9 个苹果分成 5 份， 并且每份至少为 1 个。

在 8 个空插上 4 个挡板：7048=C(种) 分法。

此题是 9 个相同元素被分成 5 份， 每份至少为 1， 我们是在 9 个元素形成的中间 8 个空隙中插入 4 个挡板， 分成 5 份。

如果是 10 个相同元素被分成 4 份， 每份至少为 1， 那么我们就可以在 10 个相同元素形成的 9 个空隙中， 插入 3 个挡板， 将 10 个元素分成 4 份。

推而广之， 如果题目中给出的是遮掩一个模型“M 个相同元素， 分成 N 份， 每份至少为 1， 问有多少种不同的分法”， 就是在 M 个元素形成的 M-1 个空隙中插入 N-1 个挡板。

所以公式即为：11−−NMC。了解了这个公式之后， 我们来做两道例题试一下。【例题 1】 把 5 件相同的礼物全部分给 3 个小朋友， 使每个小朋友都分到礼物， 分礼物的不同分法一共有几种？

（ ） A.3 B.4 C.5 D.

6 【答案】 D。【解析】 这是一道相同元素的分配问题， 并且符合我们之前所讲过的模型， 我们可以直接代入公式6241135==−−CC种分法。

答案选择 D。我们在做题的过程中， 经常会遇到这个类型题的变形题目， 比如说一下这几道例题。【例题 2】 将 12 个相同的苹果分给 3 个小朋友， 要求每个小朋友至少分得 3 个苹果，请问一共有多少种分配方式？

（ ） A.8 B.10 C.12 D,14 【答案】 B。【解析】 这道题同样是一道相同元素的分配问题， 但是和我们之前讲过的模型并非完全一致， 在模型中， 每份至少为 1， 而本题中， 每个小朋友至少分得的是 3 个苹果， 所以我们先拿出 6 个苹果， 给每个小朋友先分得 2 个苹果， 这时就变成“6 个苹果， 分给 3 个小朋友，每个小朋友至少分得 1 个苹果”， 此时我们就可以直接代入公式10251136==−−CC种分法，答案选择 B。

【例题 3】 将 6 个相同的苹果分给 3 个小朋友， 请问一共有多少种不同的分法？

（ ） A.16 B.20 C.24 D.28 【答案】 D。【解析】 这道题目同样是相同元素分配问题， 但是题目中并没有要求每个小朋友至少分得 1 个苹果， 与我们总结出来的模型不相符...