椭圆上点到焦点的最大值和最小值推导？
2022-11-02
椭圆上到焦点距离最长与最短的点是椭圆长轴的两个端点，下面给出推导过程。
设椭圆上点P（x，y），由椭圆标准方程可得y平方=b平方（1一a平方分之x平方），它到焦点F（c，0）的距离平方
PF平方
=（x-c）平方+（y-0）半方
=（x-c）平方+b平方（1-a平方分之x平方）
=（1-a平方分之b平方）x平方-2cx十c平方十b平方。
由于b平方十c平方=a平方。
所以进一步化简为
a平方分之c平方x平方-2cx十a平方。
这是完全平方公式，即（a分之cx-a）平方。
所以PF=|a分之cx-a
|因为横坐标x的范围是-a≤x≤a，所以PF范围是：a-c≤PF≤a+c。
即使PF最大的点在椭圆离F最远的长轴端点处。使pF最小的点是椭圆上离F最近的长轴端点。
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